结合律与交换律的区别

联想与交换

在我们的日常生活中，我们必须使用数字每当我们需要得到一个衡量的东西。在杂货店，在加油站，甚至在厨房，我们需要加，减，乘两个或两个以上的量。根据我们的实践，我们可以毫不费力地执行这些计算。我们从来没有注意到或质疑我们为什么要以这种特殊的方式进行这些操作。或者为什么这些计算不能换一种方式来做。答案隐藏在代数数学领域中这些运算的定义方式中。

在代数中，涉及两个量的运算(如加法)被定义为二元运算。更准确地说，它是集合中两个元素之间的操作，这些元素被称为“操作数”。数学中的许多运算，包括前面提到的算术运算，以及集合论、线性代数和数学逻辑中遇到的运算，都可以定义为二元运算。

有一组与特定二进制操作相关的治理规则。结合律和交换律是二元运算的两个基本性质。

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假设在元素上执行一些二进制运算，用符号⊗表示一个而且B．如果操作数的顺序不影响操作的结果，则该操作称为可交换的。例如,如果一个⊗B＝B⊗一个那么这个运算是可交换的。

算术运算加法和乘法是可交换的。数字相加或相乘的顺序不影响最终答案:

一个+B＝B+一个⇒4 + 5 = 5 + 4 = 9

一个×B＝B×一个⇒4 × 5 = 5 × 4 = 20

但是在除法的情况下，顺序的变化是另一个的倒数，而在减法的情况下，顺序的变化是另一个的负数。因此,

一个- - - - - -B≠B- - - - - -一个⇒4 - 5 = -1, 5 - 4 = 1

一个÷B≠B÷一个⇒在这种情况下，4 ÷ 5 = 0.8和5 ÷ 4 = 1.25一个，B≠1和0]

事实上，减法是反交换的;在哪里一个- - - - - -B= (B- - - - - -一个）.

逻辑连接词、连接词、分离词、蕴涵词和等价词也是可交换的。真值函数也是可交换的。集合运算并和交是可交换的。向量的加法和标量积也是可交换的。

但是向量的减法和向量的积不是可交换的(两个向量的向量积是反可交换的)。矩阵的加法是可交换的，但乘法和减法是不可交换的。(两个矩阵的乘法在特殊情况下是可交换的，例如矩阵与其逆矩阵或单位矩阵的乘法;但如果矩阵的大小不同，那么矩阵肯定是不能交换的)

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如果在运算符出现两次或两次以上的情况下，执行的顺序不影响结果，则称二元运算是关联的。考虑的元素A、B而且C和二进制运算⊗。运算⊗被认为是结合的

一个⊗B⊗C＝一个⊗(B⊗C) = (一个⊗B)⊗C

从基本的算术函数来看，只有加法和乘法具有结合律。

一个+ (B+C) = (一个+B) +C⇒4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

一个×(B×C) = (一个×B)×C⇒4 × (5 ×3) = (5 × 4) ×3 = 60

减法和除法是没有关联的;

一个- (B- - - - - -C)≠(一个- - - - - -B) - - -C⇒4 - (5 - 3) = 2， (5 - 4) - 3 = -2

一个÷(B÷C)≠(一个÷B)÷C⇒4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4， (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

逻辑连接词分离、连接和等价是结合律，集合运算并和交集也是结合律。矩阵和向量的加法是结合律。向量的标量积是结合律，但向量积不是。矩阵乘法只有在特殊情况下才有结合律。

交换性和结合性的区别是什么?

结合律和交换律都是二元运算的特殊性质，有的满足结合律，有的不满足结合律。

•这些性质可以在许多形式的代数运算和数学中的其他二元运算中看到，如集合论中的交集和并集或逻辑连接词。

•交换律和结合律的区别在于，交换律表示元素的顺序不改变最终结果，而结合律表示运算的顺序不影响最终结果。