正交与标准正交的区别

正交与正交

在数学中，正交和标准正交这两个词经常与一组向量一起使用。在这里，术语“向量”的意义是它是向量空间的一个元素-线性代数中使用的代数结构。在我们的讨论中，我们将考虑一个内积空间——一个向量空间V和一个内积[]上定义V．

举个例子，对于内积，空间是所有三维位置向量和通常的点积的集合。

正交是什么?

一个非空的子集年代内积空间的V是正交的，当且仅当截然不同的u, v在年代，(u, v) =0;即内积u而且v等于内积空间中的零标量。

例如，在所有三维位置向量的集合中，这等价于说，对于每一对不同的位置向量p而且问的年代,p而且问相互垂直。记住，这个向量空间的内积就是点积。另外，当且仅当两个向量相互垂直时，它们的点积等于0。)

考虑集年代={(0,2,0)，(4,0,0)，(0,0,5)}，是三维位置向量的子集。观察(0,2,0)(4,0,0)= 0，(4 0 0)．(0,0,5) = 0 & (0,2,0)．(0, 0, 5) = 0。因此,一组年代是正交的。特别地，如果两个向量的内积是0，那么它们就是正交的。因此，每一对向量年代是正交的。

正交是什么?

一个非空的子集年代内积空间的V是标准正交的当且仅当年代对每个向量都是正交的u在年代，(u, u) =1.因此可以看出，每个标准正交集都是正交的，反之则不然。

例如，在所有三维位置向量的集合中，这等价于说，对于每一对不同的位置向量p而且问在年代，p而且问是相互垂直的，对于每一个p在年代，| | = p1.这是因为条件(p, p) =1降低p.p p = | | | |cos0 =p | |²=1，等于| | = p1.因此，给定一个正交集，我们总是可以通过将每个向量除以其大小来形成相应的标准正交集。

T={(0,1,0)，(1,0,0)，(0,0,1)}是所有三维位置向量集合的标准正交子集。很容易看出，它是通过除集合中的每一个向量得到的年代的大小。

正交和标准正交的区别是什么?

• 一个非空的子集年代内积空间的V是正交的，当且仅当对于每个不同的u, v在年代，(u, v) =0.然而，它是标准正交的，当且仅当一个附加条件-对于每个向量u在年代，(u, u) =1是满意的。
• 任何标准正交集都是正交的，反之则不然。
• 任何正交集都对应一个惟一的标准正交集，而一个标准正交集可能对应多个正交集。