拉普拉斯与傅立叶变换
拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,最常用的是数学方法来求解数学建模的物理系统。该过程很简单。使用积分转换将复杂的数学模型转换为更简单,可解决的模型。一旦求解了较简单的模型,就应用了逆积分变换,这将为原始模型提供解决方案。
例如,由于大多数物理系统都会产生微分方程,因此可以将它们转换为代数方程,也可以使用积分转换来降低易于求解的微分方程。然后解决问题将变得更加容易。
拉普拉斯的变换是什么?
给定功能F((t)真实变量t,其拉普拉斯变换由积分[latex] f(s)= \\ int_ {0}^{\\ infty} e^{ - st} f(t)dt [/latex](每当存在),,这是复杂变量的函数s。通常用l {F((t)}。函数的逆拉环变换F((s)被视为功能F((t)这样的方式{F((t)} =F((s),以及我们写的通常的数学符号-1{F((s)} =F((t)。如果不允许null函数,则可以使逆变换成为唯一的。一个人可以将这两个识别为函数空间中定义的线性操作员,也很容易看到,l-1{l {F((t)}} =F((t),如果不允许null功能。
下表列出了一些最常见功能的拉普拉斯变换。
什么是傅立叶变换?
给定功能F((t)真实变量t,其拉普拉斯变换由积分[latex] f(\\ alpha)= \\ frac {1} {\\ sqrt {2 \\ pi}} \\ int _ { - { - \\ infty}^{} e^{i \\ alpha t} f(t)dt [/latex](每当存在时),通常用f {F((t)}。逆变换f-1{F((α)}由Integral [latex] f(t)= \\ frac {1} {\\ sqrt {2 \\ pi}} \\ int _ { - \\ infty}^{\\ infty} e^{e^{-i \\ alpha t} f(\\ alpha)d \\ alpha [/latex]。傅立叶变换也是线性的,可以将其视为功能空间中定义的操作员。
使用傅立叶变换,只要该函数仅具有有限数量的不连续性,并且绝对可以集成。
拉普拉斯和傅立叶变换有什么区别?
- 功能的傅立叶变换F((t)定义为[latex] f(\\ alpha)= \\ frac {1} {\\ sqrt {2 \\ pi}}} \\ int _ { - \ \\ infty}^{\\ infty} {\\ infty}\\ alpha t} f(t)dt [/latex],而其laplace变换定义为[latex] f(s)= \\ int_ {0}^{\\ infty} e^{ - st e^{ - st} f(t)dt [/latex]。
- 傅立叶变换仅针对所有实数定义的函数定义,而拉普拉斯变换不需要在设置负实数的设置上定义函数。
- 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况。可以看出,这两者都重合非负实数。(即s在拉普拉斯Iα+β在哪里α和β是真实的eβ=1/√(2ᴫ))
- 每个具有傅立叶变换的功能都将具有拉普拉斯变换,而不是反之亦然。
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