积分与求和的区别

集成和求和

在高中以上数学中，数学运算中经常出现积分和求和的问题。它们似乎被用作不同的工具，在不同的情况下使用，但它们有着非常密切的关系。

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求和是对一串数字相加的运算，这种运算通常用大写的希腊字母sigma Σ表示。它用来缩写求和，等于序列的和/总和。它们通常用来表示级数，本质上是无穷序列的总和。它们也可以用来表示向量、矩阵或多项式的和。

通常对可以用一般项表示的值的范围进行求和，例如具有公共项的级数。求和的起点和终点分别称为求和的下界和上界。

例如，数列a的和₁,一个₂,一个_3.，一个₄，……,_n是一个₁+一个₂+一个_3.+…+ a_n可以很容易地用∑ⁿ_{i = 1}一个_我；I叫做求和的指标。

基于应用程序的求和使用了许多变体。在某些情况下，上界和下界可以给出一个区间或范围，如∑_1≤≤100一个_我和∑_我∈[1100]一个_我．也可以用一组数字来表示，比如∑_我∈P一个_我，其中P是一个已定义的集合。

在某些情况下，可以使用两个或两个以上的符号，但它们可以一般化如下;∑_j∑_k一个_jk=∑_{j, k}一个_jk．

而且，求和遵循许多代数规则。由于嵌入的操作是加法，所以许多代数的通用规则可以应用到求和本身和求和所描述的各个项上。

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积分被定义为微分的逆向过程。但从几何的角度来看，它也可以被认为是函数和轴的曲线所包围的面积。因此，面积的计算给出了如图所示的定积分值。

图片来源:http://en.wikipedia.org/wiki/File Riemann_sum_convergence.png

定积分的值实际上是曲线内的小条和轴的总和。每条的面积在轴上的点为height×width。宽度是一个我们可以选择的值，比如∆x。高度近似于函数在考虑点处的值f(x_我)．从图中可以明显看出，条带越小越适合在有界区域内，因此值的近似值越好。

一般来说，定积分我，在点a和b之间(即在区间[a,b]中，其中a我≅f(x₁)∆x +f(x₂∆x +⋯⋯+f(x_n)∆x，其中n为条数(n=(b-a)/∆x)。这个面积的总和可以很容易地用求和表示法表示我≅∑ⁿ_{i = 1}f(x_我)∆x。由于∆x越小，逼近效果越好，因此我们可以计算出∆x→0时的值。因此，有理由说我= lim_∆x→0∑ⁿ_{i = 1}f(x_我)∆x。

根据上述概念，我们可以根据i索引的考虑区间(根据位置选择区域宽度)选择∆x。然后我们得到

我= lim_∆x→0∑ⁿ_{i = 1}f(x_我)∆x_我＝_一个∫^bf(x) dx

这就是函数的黎曼积分f(x)在区间[a,b]。在这种情况下，a和b称为积分的上界和下界。黎曼积分是所有积分方法的基本形式。

本质上，积分是矩形宽度无穷小时面积的总和。

积分和求和的区别是什么?

•求和就是把一串数字相加。通常，总和以∑形式给出ⁿ_{i = 1}一个_我当序列中的术语有一个模式并且可以用一般术语表示时。

•积分基本上是由函数曲线、轴和上下限所划分的区域。这个面积可以被给出为有界面积中包含的更小的面积的和。

•求和涉及到具有上、下界的离散值，而积分涉及到连续值。

•积分可以被理解为求和的一种特殊形式。

•在数值计算方法中，积分总是以求和的形式进行。