导数和差分之间的差异|比较类似术语之间的差异

衍生物与差异

在差分计算中，函数的导数和差异密切相关，但含义非常不同，用来表示与可区分函数相关的两个重要数学对象。

什么是衍生物？

函数的导数可测量函数值随其输入变化而变化的速率。在多变量函数中，函数值的变化取决于自变量值的变化方向。因此，在这种情况下，选择了一个特定的方向，并且该函数在该特定方向上有区别。该导数称为定向衍生物。部分衍生物是一种特殊的定向衍生物。

Derivative of a vector-valued functionFcan be defined as the limit [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(\\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol {u}） - f（\\ boldsymbol {x}）}} {h} [/latex]有限地存在。如前所述，这给了我们功能的增加率F沿矢量的方向你。在单值函数的情况下，这将减少到衍生物的众所周知的定义，[latex] \\ frac {df} {dx} = \\ lim_ {h \\ to}（x+h）-f（x）} {h} [/latex]

例如，[latex] f（x）= x^{3}+4x+5 [/latex]无处不在，衍生物等于极限，[latex] \\ lim_ {h \\ to 0}\\ frac {（x+h）^{3} +4（x+h）+5-（x^{3}+4x+5）}} {h} [/latex]，等于[latex]3x^{2} +4 [/latex]。函数的衍生物，例如[latex] e^{x}，\\ sin x，\\ cos x [/latex]，无处不在。它们分别等于函数[latex] e^{x}，\\ cos x， - \\ sin x [/latex]。

This is known as the first derivative. Usually the first derivative of functionF表示F^（1）．现在使用这个符号,defin是可能的e higher order derivatives. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f^{(1)}(x)}{h}[/latex] is the second order directional derivative, and denoting then^Thderivative byF^（（n）For eachn，[latex] \\ frac {d^{n} f} {dx^{n}} = \\ lim_ {h \\ to 0} \\ frac {f^{（n-1）（x+h）-f^{（n-1）}（x）} {h} [/latex]，定义n^Thderivative.

What is differential?

函数的差异表示函数相对于自变量或变量的变化的变化。在通常的符号中，对于给定功能F一个变量X，，，，The total differential of order 1DF是给出，[latex] df = f^{1}（x）dx [/latex]。这意味着对于无限的变化X（即dX），会有一个F^（1）（（X）dX在某一方面的变化F。

使用限制，一个定义最终可以如下。假设∆Xis the change inX在任意点X和∆Fis the corresponding change in the functionF．可以证明∆f = f^（1）（（X）∆X+ϵ,where ϵ is the error. Now, the limit ∆X→0^∆F/_∆X=F^（1）（（X）（使用先前指定的衍生物定义），因此，∆X→0^ϵ/_∆X= 0。因此，可以得出结论，∆X→0ϵ=0。现在，表示∆X→0 ∆Fas dF和∆X→0 ∆Xas dX差异的定义是严格获得的。