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衍生物和差分之间的差异

2011年10月28日发表abk

衍生物与差异

在差分计算中,函数的导数和差异密切相关,但含义非常不同,用来表示与可区分函数相关的两个重要数学对象。

什么是衍生物?

函数的导数可测量函数值随其输入变化而变化的速率。在多变量函数中,函数值的变化取决于自变量值的变化方向。因此,在这种情况下,选择了一个特定的方向,并且该函数在该特定方向上有区别。该导数称为定向衍生物。部分衍生物是一种特殊的定向衍生物。

Derivative of a vector-valued functionFcan be defined as the limit [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(\\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol {u}) - f(\\ boldsymbol {x})}} {h} [/latex]有限地存在。如前所述,这给了我们功能的增加率F沿矢量的方向你。在单值函数的情况下,这将减少到衍生物的众所周知的定义,[latex] \\ frac {df} {dx} = \\ lim_ {h \\ to}(x+h)-f(x)} {h} [/latex]

例如,[latex] f(x)= x^{3}+4x+5 [/latex]无处不在,衍生物等于极限,[latex] \\ lim_ {h \\ to 0}\\ frac {(x+h)^{3} +4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}} {h} [/latex],等于[latex]3x^{2} +4 [/latex]。函数的衍生物,例如[latex] e^{x},\\ sin x,\\ cos x [/latex],无处不在。它们分别等于函数[latex] e^{x},\\ cos x, - \\ sin x [/latex]。

This is known as the first derivative. Usually the first derivative of functionF表示F(1).现在使用这个符号,defin是可能的e higher order derivatives. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f^{(1)}(x)}{h}[/latex] is the second order directional derivative, and denoting thenThderivative byF((n)For eachn,[latex] \\ frac {d^{n} f} {dx^{n}} = \\ lim_ {h \\ to 0} \\ frac {f^{(n-1)(x+h)-f^{(n-1)}(x)} {h} [/latex],定义nThderivative.

What is differential?

函数的差异表示函数相对于自变量或变量的变化的变化。在通常的符号中,对于给定功能F一个变量X,,,,The total differential of order 1DF是给出,[latex] df = f^{1}(x)dx [/latex]。这意味着对于无限的变化X(即dX),会有一个F(1)((X)dX在某一方面的变化F。

使用限制,一个定义最终可以如下。假设∆Xis the change inX在任意点X和∆Fis the corresponding change in the functionF.可以证明∆f = f(1)((X)∆X+ϵ,where ϵ is the error. Now, the limit ∆X→0∆F/∆X=F(1)((X)(使用先前指定的衍生物定义),因此,∆X→0ϵ/∆X= 0。因此,可以得出结论,∆X→0ϵ=0。现在,表示∆X→0 ∆Fas dF和∆X→0 ∆Xas dX差异的定义是严格获得的。

例如,函数[latex] f(x)= x^{3}+4x+5 [/latex]的差异为[latex](3x^{2} +4)dx [/latex]。

在两个或多个变量的函数的情况下,函数的总差异定义为每个自变量方向上差异的总和。从数学上讲,它可以说为[latex] df = \\ sum_ {i = 1}^{n} \\ frac {\\ partial f} {\\ partial x_ {i}} dx_ {i} dx_ {i}。

衍生物和差异之间有什么区别?

•导数是指函数的变化速率,而差异是指函数的实际更改,当自变量发生变化时。

•衍生物由[latex] \\ frac {df} {dx} = \\ lim_ {h \ to 0} \\ frac {f(x+h)-f(x)} {h} {h}],但是差异由[latex] df = f^{1}(x)dx [/latex]给出。

相关文章:

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